Kurt Gödel的不完整理論

Kurt Gödel(28.04.1906-14.01.1978)20世紀偉大的數學與邏輯學家。他提出了不完整理論,他的定理這樣說:封閉的邏輯系統是不完整的或者是自我矛盾的(Geschlossene logische Systeme sind entweder unvollständig oder in sich widersprüchlich)封閉完整的體系必然是矛盾的。這個數學定理提示我們:活在封閉的世界,互補與矛盾是必然的。在封閉世界,人彼此間應該如何由矛盾提升到互補,面對矛盾只能坦然以對,因為那是必然的。完整互補又不矛盾,可能存在於開放的系統中嗎?開放世界是個令人響往的世界,開放理論是令人振奮的。研究的邏輯Logik der Forschung的作者Karl Popper (1902- 1994)寫過一本書叫:開放社會及其敵人The Open Society and Its Enemies。他重點放在對極權世界的政治批判,開放的哲學理論又如何呢?.

Kurt Gödel
出生在捷克的Brünn,有一年夏天我們到東歐,奧地利去旅行, 中間經過布拉格, Brünn, Bratislava,布達佩斯。那時斯洛華克還未獨立, Bratislava還不是首都。19xx年斯洛華克獨立了,人們感謝哈非總統的理性決定。我記得我們在Brünn,停了一段時刻,然後上高速公路,在高速公路上的一家餐廳午餐。記得那餐午餐是出奇的物美價廉,後來我們到奧地利找朋友。Gödel到維也納念書,Gödel起初念物理,後念數學,好年輕便寫博士論文,像法國物理學家 De Boglie一樣,他的學生論文成了人類的資產。

我們再談另一個偉大的數學家,他是康德的同鄉,David Hilbert。他1862年出生在Königsberg1943年過世。Königsberg這個小城,過去屬於東普魯士,今日屬於俄國。 康德、Hilbert 是徳國人?還是俄國人?隨你說!1928年我們偉大的數學家 Hilbert在義大利Bologna 的國際會議上提出了歷史上還未解決的四個數學問題,這四個問題是一串的,正如中世紀哲學家 Thomas von Aquina的上帝五路証明,証明一個,其他四個問題便迎刃而解。這些難題引起年輕的Kurt Gödel的關心,後來在他的學生數學論文中証明一個,其他未解決的三個數學問題,後來他一口氣便全部都解決了。 Kurt Gödel是個天才,他解決這四個問題的最重要一個觀念,便是前面說的: 封閉的邏輯系統是不完整的或者自我矛盾的。

我們在這裡不準備說明Kurt Gödel的證明,我們只是說明不完整理論的意義。Kurt Gödel提出不完整理論的證明後,打亂了原來Hilbert的劃世紀計畫,我們知道數學上有所謂的代數、幾何、微積分、集合論….等等,他們都是獨立的系統。都有自己的定義與定理,彼此都沒關聯。Hilbert 計畫要建立一個形式系統,然後把代數、幾何、微積分、集合論等等系統,都沒有矛盾的,完整的,統一在他的形式系統裡, Hilbert要一統數學江湖。

然而Kurt Gödel1931提出不完整理論的證明後,認為一個封閉系統,如果是無矛盾的,那它就是不完整的。所以Hilbert要建立的沒有矛盾的,完整的系統是不可能的。Hilbert是失败了。然而他的努力還是有意義的。非封閉,即開放系統,可以是完整又無矛盾嗎?開放系統對Hilbert的一統數學是沒有意義的。但對人文社會卻是有意義的,封閉完整的體系必然是互補與矛盾的。人的演化由封閉到開放,由必然矛盾提升到互補。互補又不矛盾,可能存在於開放的系統中,開放世界是個令人響往的世界。開放的哲學理論又如何呢?.我們現在來看看Hilbert如何思考他的形式系統:

Hilbert
的形式系統,首先是一些沒有定義的符號,與沒有內容的公式。然後再把有定義,有內容的代數、幾何、微積分、集合論….等等拿來重新定義。形式系統一開始定義後,便產生符號之間的矛盾,與公式間的矛盾。

現在我們離開Kurt Gödel的不完整理論,與Hilbert的形式系統。我們現在問:這麼一個開放、完整的形式系統,存在著互補或有可能矛盾,難道是完全沒有意義的嗎?我們難道不能在這統一的系統中.允許互補與矛盾存在,然後比較他們之間的互補與矛盾嗎?他們互補在那里?矛盾又再那裡?之間可以演化嗎? 即共存在開放的系統中。這便是我們設計陰陽形式系統的用意,首先設計一些沒有定義的符號,與沒有內容的公式。然後把每個哲學或宗教系統重新定義符號,與公式內容。這樣我們便可比較康德、老子、佛學之間的互補與矛盾。在正反的矛盾中,共同存在在系統中。(06.märz.03)



系統的互補與矛盾

互補
在物理學上,我們可以以波來描寫光波,也可以以粒子來描寫光子.光一方面具有波動性,另一方面具有粒子性.在波的系統中,我們以波長,頻率來描寫光波.在粒子的系統中,我們以時間空間質量速度能量來描寫光子.波與粒子是两個完全不一樣的系統.光具有二象性.它們之間沒有任何矛盾.他們之間是互補的關係.這關係有一常數,Planck常數h.  h=E/ν.其中E是粒子的能量, ν是波的頻率. 波與粒子是两個互補的系統.

矛盾
牛頓認為時間,空間,質量是絶對的.他的物理學三大定律,對宏觀世界的描寫,在古典物理學時代起著領導的地位.自從光速常數c=3x10↑8m/s被發現後,愛因斯坦提出了狹義相對論,証明時間,空間,質量是相對的.愛因斯坦提出了狹義相對論在宏觀世界與微觀都是有效的.牛頓的時間,空間,質量是絶對.因為在宏觀世界中,粒子的運動相對的慢,時間,空間,質量的改變沒被發現,所以說它是絶對.事實時間,空間,質量在宏觀世界與微觀都是相對的.牛頓的時間,空間,質量系統是絶對,愛因斯坦的時間,空間,質量系統是相對.他們的時間,空間,質量系統不是互補.他們是矛盾的.矛盾就不能两者皆為真.必有一真一假.現在牛頓的絶對時間,空間,質量系統被愛因斯坦相對的時間,空間,質量系統取代

我們再舉個例子來說明系統的互補與矛盾.自然科學與宗教是两個不同的系統.自然科學用經驗與理智來處理現象的規律.宗教用信仰與了悟來處理本體的問題.自然科學與宗教各有各的範疇.两個系統本來是互補的.但當宗教不只處理本體彼岸的問題, 也跟著自然科學搶著要處理地球是否是宇宙中心? 地球是否在動的問題.這樣本來是互補的两個系統.就變成了互為矛盾的系統.矛盾就不能两者皆為真.必有一真一假.現在宗教的宇宙觀被自然科學取代.
(Mittwoch, 25. Februar 2004)